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Expositor: Maximiliano Leyton Álvarez (Universidad de Talca)
Título: El estallido de Nash no resuelve las singularidades de variedades algebraicas.
Resumen:
La resolución de singularidades en característica cero fue establecida por Hironaka, cuyo enfoque se basa en una sucesión de estallidos (blowups) a lo largo de centros lisos cuidadosamente elegidos. Aunque efectivo, este método implica una variedad de elecciones no canónicas. Con el fin de obtener un procedimiento canónico, Nash propuso un procedimiento conocido actualmente como el estallido de Nash, planteando la pregunta de si su iteración basta para resolver todas las singularidades. Existe una variante del problema del Estallido de Nash, el llamado Estallido de Nash normalizado, que es simplemente el Estallido de Nash seguido de la normalización. La pregunta planteada es la misma. En el caso del Estallido de Nash Normalizado en la dimensión dos, Mark Spivakovsky, en los años 80, demostró que el problema del Estallido de Nash tiene respuesta afirmativa.
En un trabajo realizado conjuntamente con Federico Castillo (PUC, Chile), DanielDuarte (UNAM, Morelia, México) y Álvaro Liendo (UTALCA, Chile), por aparecer en Annals of Mathematics, construimos contraejemplos en el contexto de variedades tóricas que muestran que, en dimensiones mayor o igual a cuatro, la iteración del Estallido de Nash y del Estallido de Nash normalizado no conduce a una resolución de singularidades. Muy recientemente construimos otro contraejemplo, pero ahora en la dimensión 3, y solo para el caso del estallido de Nash (no normalizado). Después de estos trabajos solo falta estudiar el caso del Estallido de Nash Normalizado para dimensión tres y el caso del Estallido de Nash sin Normalizar en dimensión dos
En esta charla haremos una introducción al problema y las ideas de los resultados obtenidos.