Próxima charla:
Título: Grupos de Brauer en teoría de números
Expositor: Andrés Quinteros
Fecha: 20 de octubre de 2025
Resumen: El grupo de Brauer de un campo K es un grupo cuyos elementos son clases de equivalencias de K-álgebras centrales simples (CSA), las cuales se operan a través del producto tensorial de sus representantes. Desarrollaremos la definición con algunos ejemplos clásicos como el grupo de Brauer de los números reales, cuyo cálculo resulta de un teorema de Frobenius.
Charlas anteriores:
Título: Álgebras de Hopf Combinatorias
Expositor: Camilo González
Fecha: 6 de octubre
Resumen: Un álgebra de Hopf combinatoria es un biálgebra provista de una antípoda en la cual tanto el producto como el coproducto admiten una interpretación combinatoria.
Durante esta charla, revisaremos algunos ejemplos de álgebras de Hopf combinatorias y veremos un resultado importante de Aguiar, Bergeron y Sottile: toda álgebra de Hopf admite un morfismo natural hacia el álgebra de funciones cuasisimétricas.
Título: Categorías monoidales trenzadas y topología 3D
Expositor: Daniel López Neumann
Fecha: 22 de septiembre de 2025
Resumen: Una categoría monoidal es una categoría en la que se pueden «multiplicar» objetos y morfismos. En esta charla introduciremos varias nociones sobre categorías monoidales: categorías trenzadas, dualidad, estructura «cintada». Veremos que nudos, enlaces y objetos enredados más generales proporcionan ejemplos de tales categorías y aún más: forman la categoría universal con tales estructuras, gracias a la llamada construcción de Reshetikhin-Turaev. Si el tiempo alcanza, explicaré brevemente la construcción del invariante de 3-variedades suaves cerradas de Witten-Reshetikhin-Turaev.
Título: El problema de Whitehead y el Axioma de Martin
Expositor: Lucas Polymeris
Fecha: 1 de septiembre de 2025
Resumen: El Problema de Whitehead pregunta si una debilitación de –una caracterización de– Abeliano libre es equivalente a la definición original. El problema fue atacado por diversos matemáticos a mediados del siglo XX sin resultado, y obtuvo una respuesta sorprendente: no se puede decidir bajo los axiomas usuales de la teoría de conjuntos. En este seminario se intentará presentar un axioma que permite decidir problemas que los axiomas usuales no, entre ellos el problema de Whitehead. Una ventaja de este axioma es que puede utilizarse, hasta cierto punto, como «caja negra», evadiendo las complicaciones del «forcing»: esencialmente el único método que conocemos para probar este tipo de resultados. Esto es un poco análogo a como, fuera de la lógica, casi siempre se utiliza el Lemma de Zorn (o variantes) en lugar del Axioma de Elección, evitando así la necesidad de herramientas más técnicas como ordinales e inducción transfinita.
Título: Construcción de Cox de variedades tóricas
Expositor: Antonio Laface
Fecha: 18 de agosto de 205
Resumen: Las variedades tóricas son una clase de variedades algebraicas cuya geometría se puede describir completamente a partir de datos combinatorios. Esto las convierte en un laboratorio ideal para explorar la interacción entre álgebra, geometría y combinatoria. En este seminario, se presentará cómo, a partir de las órbitas del toro y los límites a un parámetro, se obtiene el abanico que codifica la variedad. También se mostrará cómo las piezas afines asociadas a los conos se unen para formar el espacio global. Finalmente, se introducirá la construcción de Cox de una variedad tórica, un procedimiento que la realiza como un cociente bueno de un abierto en un espacio afín por un toro de menor dimensión, generalizando la construcción del espacio proyectivo.
Título: Carácteres irreducibles del grupo simétrico
Expositor: Bárbara Ponce
Fecha: 9 de junio de 2025
Resumen: Comenzaré revisando algunos resultados fundamentales sobre funciones simétricas y caracteres de representaciones del grupo simétrico. A continuación, introduciré el mapa característico de Frobenius, que establece una correspondencia entre las funciones de clase del grupo simétrico Sn y el espacio de funciones simétricas. Utilizando este mapa, mostraré cómo se identifican los caracteres irreducibles de S_n dentro del marco de las funciones simétricas.
Título: Módulos de Drinfeld
Expositor: Javier Utreras
Fecha: 26 de mayo de 2025
Resumen: En 1974, V. Drinfeld introdujo el concepto de «módulos elípticos» como un análogo de las curvas elípticas en campos de funciones. En esta charla se presentará dicha analogía desde los puntos de vista algebraico y analítico, y se explicará cómo generaliza la noción «exponencial» del módulo de Carlitz.
Título: ¿Puede haber otra álgebra homológica?
Expositor: Daniel López Neumann
Fecha: 19 de mayo de 2025
Resumen: El álgebra homológica (o «cohomología») se basa en la ecuación d^2=0. Pero podría haber una teoría similar en la que d^p=0 con p>2? Khovanov, Qi y otros, proponen que debería existir una tal teoría, aunque no parece haber una respuesta satisfactoria.
Título: Módulos de Carlitz y de Drinfeld
Expositor: Carlos Martínez
Fecha: 28 de abril de 2025
Resumen: Uno de los problemas más importantes del siglo XIX era determinar las extensiones abelianas de los números racionales, es decir, aquellas extensiones cuyo grupo de Galois es abeliano. Este problema fue resuelto con lo que hoy se conoce como el Teorema de Kronecker-Weber, el cual afirma que toda extensión abeliana de los racionales está contenida en una extensión ciclotómica.
Título: Funciones de Schur y generalizaciones
Expositor: Camilo González
Fecha: 14 de abril de 2025
Resumen: Las funciones simétricas han probado ser una herramienta importante para demostrar u obtener resultados en otras áreas tanto de matemática, como de física. En esta charla, revisaremos algunas propiedades combinatorias de las funciones de Schur, las cuales son unas de las funciones simétricas más importantes, tanto desde por su riqueza combinatoria como por sus conexiones con otras áreas. Además revisaremos algunas generalizaciones de las funciones de Schur, como los polinomios de Macdonald, de Jack o de Hall-Littlewood.
Título: Una aplicación de los teoremas de Sylow
Expositor: Andrés Quinteros
Fecha: 7 de abril de 2025
Resumen: La idea es hablar un poco de los clásicos teoremas de Sylow, y en especial, del que nos asegura la existencia de p-grupos. Este teorema cuando lo usamos en el contexto de la teoría de Galois nos proporciona una prueba “más algebraica” del teorema fundamental del álgebra: todo polinomio no constante en C tiene al menos una raíz. Se enunciará por lo tanto, el teorema fundamental de la teoría de Galois y se harán algunos comentarios al respecto.
Título: Categorías trenzadas 1: representaciones de sl(2,C) clásicas y «cuánticas»
Expositor: Daniel López Neumann
Fecha: 31 de marzo de 2025
Resumen: La idea es hablar un poco de los clásicos teoremas de Sylow, y en especial, del que nos asegura la existencia de p-grupos. Este teorema cuando lo usamos en el contexto de la teoría de Galois nos proporciona una prueba “más algebraica” del teorema fundamental del álgebra: todo polinomio no constante en C tiene al menos una raíz. Se enunciará por lo tanto, el teorema fundamental de la teoría de Galois y se harán algunos comentarios al respecto.